外面是一片丛林。

在茂密的荒野中有一个小部落，周围平原上的猎人都在寻找他们。这是工程师部落，以其深奥的专业知识闻名于世，他们住在左半平原最遥远的地区，穿过拉普拉斯丛林。

工程师的上师是过滤器设计者，他坐在他王国的宝座上并传授智慧。你从来没见过他，即使有预约，你也叫他"先生"

在大多数关于过滤器设计的书中，无数页的方程式可以吓到小狗和数字设计师。本文为实际工程师扫清了道路，揭开了滤波器设计的奥秘，使您能够快速设计连续时间滤波器，并使用最少的数学。

电子学理论

电子学有两个截然不同的方面:学术机构教授的理论(稳定性方程，相移计算等)和大多数工程师熟悉的实用方面(通过调整电容器的增益来避免振荡等)。不幸的是，滤波器的设计牢牢地建立在长期建立的方程和理论结果表的基础上。从理论方程设计滤波器是很困难的。因此，本文在将理论表转换为实际组件值或推导通用滤波器的响应时使用了最少的数学。

基本面

简单RC低通滤波器具有传递函数:

这种滤波器通过在传递函数的分母中产生二次方程而使响应复杂化。因此，任何二阶低通滤波器的传递函数的分母为As (2)+ bs + c。将值替换为a, b和c确定滤波器随频率的响应。任何记得高中数学的人都会注意到，上面的表达式对于由等式给出的某些s值等于零:

在二次方程等于零的s值处，传递函数理论上具有无限增益。这些值确定了每种滤波器在频率上的性能，称为二次方程的极点。极点通常以复数(a + jb)和它的共轭复数(a - jb)的形式成对出现。jb有时是零。

具有无限增益的传递函数的想法可能会吓到紧张的读者，但在实践中这不是问题。极点的实部“a”表示滤波器对瞬态的响应，其虚部“jb”表示频率响应。只要实部是负的，系统就是稳定的。下面的文本解释了如何将许多教科书中的电极表转换为适合电路设计的元件值。

过滤器类型

最常见的过滤器响应是Butterworth、Chebyshev和Bessel类型。还有许多其他类型可用，但90%的应用程序都可以使用这三种类型中的一种来解决。巴特沃斯确保了通带的平坦响应和适当的滚降率。巴特沃斯滤波器是一个很好的“全能型”，易于理解，适用于音频处理等应用。切比雪夫给出了一个更陡峭的滚降，但通带纹波使它不适合音频系统。对于仅包含一个感兴趣频率的通带(例如，通过滤除谐波从方波中推导正弦波)的应用，它是优越的。

贝塞尔滤波器在输入频谱上给出一个恒定的传播延迟。因此，将方波(由基波和许多谐波组成)应用于贝塞尔滤波器的输入产生没有超调的输出方波(所有频率都被相同的量延迟)。其他滤波器以不同的量延迟谐波，导致输出波形上的超调。另一个流行的过滤器，椭圆型，是一个更复杂的过滤器，将不讨论在这篇文章。与切比雪夫响应类似，它具有通带纹波和严重的滚降，代价是阻带纹波。

标准滤块

通用滤波器结构(图1a)允许您通过替换电容器或电阻来代替组件G1到G4来实现高通或低通实现。考虑到这些元件对运放反馈网络的影响，可以通过将G2/G4制成电容器，将G1/G3制成电阻，轻松推导出低通滤波器。(相反的做法会产生高速通道实现。)

图1b低通滤波器的传递函数为:

这个方程对于电导来说更简单。替换电导为sC的电容器和电导为g的电阻器。如果这看起来很复杂，你可以“规范化”这个方程。将电阻设为1欧姆或将电容设为1F，并改变周围元件以适应响应。因此，所有电阻值均等于1欧姆，则低通传递函数为:

这个传递函数描述了一个通用的二阶低通滤波器的响应。我们现在采用描述三种主要滤波器响应的极点的理论表，并将它们转换为实际分量值。

设计过程

要确定所需的滤波器类型，您应该使用上面的描述来选择所需的通带性能。确定滤波器阶数的最简单方法是设计一个二阶滤波器级，然后根据需要级联多个版本。检查结果是否提供了所需的阻带抑制，然后按照附录中的表进行正确的极位处理。一旦确定了极点位置，就可以很快计算出分量值。

首先，将每个极点位置转换为类似于一般二阶滤波器的分母的二次表达式。如果一个二次方程的极点是(a±jb)，那么它的根是(s - a - jb)和(s - a + jb)． 当这些根相乘时，得到的二次表达式为S (2) - 2as + a(2) + b(2)

在极点表中，“a”总是负的，因此为了方便，我们声明s(2) + 2as + a(2) + b(2)，并使用“a”的大小，而不管它的符号是什么。为了将其付诸实践，考虑一个四阶巴特沃斯滤波器。极点和每个极点位置对应的二次表达式如下:

你可以用这个信息设计一个四阶巴特沃斯低通滤波器。只需将上述二次表达式的值代入方程4的分母。因此，在第一个滤波器中，C2C4 = 1, 2C4 = 1.8478，即C4 = 0.9239F, C2 = 1.08F。对于第二个过滤器，C2C4 = 1, 2C4 = 0.7654，即C4 = 0.3827F, C2 = 2.61F。两个滤波器中的所有电阻都等于1欧姆。对这两个二阶滤波器进行Casc，产生4阶巴特沃斯响应，滚转频率为1rad/s，但不可能找到分量值。如果上述频率或分量值不合适，请继续阅读。

如果你保持电抗与电阻器的比例不变，电路的响应就会保持不变。因此，您可以选择1k欧姆电阻器。为了确保电抗与电阻以相同的比例增加，将电容值除以1000。

我们仍然有完美的巴特沃斯响应，但不幸的是，滚转频率是1rad/s。为了改变电路的频率响应，我们必须保持电抗与电阻的比率，但只是在不同的频率上。对于1kHz而不是1rad/s的滚降，电容器值必须进一步降低2倍π×1000。因此，电容器的电抗直到更高的频率才达到原始(归一化)值。得到的4阶巴特沃斯低通滤波器具有1kHz的滚降，其形式如图2所示。

使用上述技术，您可以通过使用二阶滤波器获得任何偶阶滤波器响应。然而，请注意，四阶巴特沃斯滤波器不是简单地通过计算二阶滤波器的分量然后将两个这样的阶段进行合并来获得的。必须设计两个二阶滤波器，每个滤波器具有不同的极点位置。如果滤波器的阶数为奇数，则可以简单地级联二阶滤波器并添加RC网络以获得额外的极点。例如，具有1dB纹波的5阶切比雪夫滤波器具有以下极点:

为了确保符合公式4所描述的通用滤波器，并确保最后一项等于单位，前两个二次函数已乘以一个常数。因此，在第一个滤波器中，C2C4 = 2.488, 2C4 = 1.127，意味着C4 = 0.5635F, C2 = 4.41F。对于第二个过滤器，C2C4 = 1.08, 2C4 = 0.187，即C4 = 0.0935F, C2 = 11.55F。

早些时候，它被证明，RC电路有一个极时，1 + sCR = 0: s = -1/CR。如果R = 1，那么要获得s = -0.28的最终极，你必须设置C = 3.57F。使用1k欧姆电阻器，可以将滚转频率归一化为1kHz，如图3所示。因此，设计人员可以大胆地去设计在任何频率下的任何顺序的低通滤波器。

所有这些理论也适用于高通滤波器的设计。已经证明，一个简单的RC低通滤波器具有传递函数:

类似地，一个简单的RC高通滤波器具有传递函数:

将这些函数归一化以与归一化极点表相对应，得到低通TF = 1/(1 + s)，高通TF = 1/(1 + 1/s)。

注意，高通极位置“s”可以通过反转低通极位置来获得。将这些值插入高通滤波器块可确保正确的频率响应。为了得到高通滤波器块的传递函数，我们需要回到低通滤波器块的传递函数。因此,从

我们通过交换电容和电阻得到等效高通滤波块的传递函数:

同样，如果电容被归一化而不是电阻，生活会简单得多:

式9为高通滤波器块的传递函数。这一次，我们计算电阻值而不是电容值。给定一般的高通滤波器响应，我们可以通过反转低通极点位置并像前面一样继续推导高通极点位置。然而，反转一个复杂的极点位置说起来容易做起来难。例如，考虑前面讨论的5阶1db纹波切比雪夫滤波器。它有两个极点位置在(-0.2265±j0.5918)。

求复数的倒数最简单的方法是将复数的共轭数乘除，从而在分子上得到一个实数。然后通过对分数求倒数，如下所示:

将该表达式反转得到极点位置，然后可以将其转换为相应的二次表达式，并像以前一样计算值。结果是:

由式2可以计算出第一个滤波器分量值为R2R4 = 0.401, 2R2 = 0.453，即R2 = 0.227欧姆， R4 = 1.77欧姆。然后可以对其他极点位置重复此过程。

因为已经证明s = -1/CR，一种更简单的方法是使用合适的低通极设计低通滤波器，然后将滤波器中的每个极视为单个RC电路。要反转每个低通极得到相应的高通极，只需反转CR的值，一旦得到高通极的位置，我们就可以通过插入电容和电阻来保证正确的频率响应。

假设R = 1欧姆，为低通实现计算归一化电容值。因此，CR的值等于C的值，C值的倒数就是高通极。将该极作为新的R值处理，可以得到适当的高通分量值。

再次考虑5阶1db纹波切比雪夫低通滤波器，计算出的电容值为C4 = 0.5635fC2 = 4.41F。为了获得等效的高通电阻值，将C的值反取(以获得高通极位置)，并将这些极作为新的归一化电阻值:R4 = 1.77, R2 = 0.227。这种方法提供的结果与前面提到的更正式的方法相同。

因此，图3电路现在可以通过反置归一化电容值，插入电阻和电容，并相应地缩放值，转换为具有1kHz滚降的高通滤波器。之前，我们除以2πfR将低通值归一化。这里的比例因子是2π足球俱乐部式中，C为电容值，f为频率，单位为赫兹。得到的电路如图4所示，SPICE仿真显示了每个滤波器输出处的预期特性(图5)。

结论

使用上述方法，您可以设计具有任何频率响应的低通和高通滤波器。带通和带阻滤波器也可以使用类似于所示的技术实现(使用单运算放大器)，但这些应用超出了本文的范围。但是，您可以通过使用低通和高通滤波器来实现带通和带阻滤波器。关于马克沁运算放大器的信息可以在放大器和比较器中找到。

附录