介绍

易用性使得集成的开关电容滤波器对许多应用具有吸引力。本文通过描述过滤器产品并解释控制其操作的概念，帮助您为此类设计做好准备。

从一个简单的积分器开始，我们首先开发了一种直观的有源滤波器的一般方法。然后，我们介绍了实际实现，如状态变量滤波器及其开关电容形式的实现。这里描述的具体集成滤波器包括Maxim的MAX7400系列高阶开关电容滤波器。

一阶滤波器

积分器的过滤器

积分器(图1a)是数学上最简单的滤波器，它构成了大多数现代集成滤波器的构建块。考虑一下我们对积分器的直观认识。如果你在输入端施加一个直流信号(即零频率)，输出将描述一个线性斜坡，其幅度增长，直到受到电源的限制。忽略这个限制，积分器在零频率处的响应是无限的，这意味着它在零频率处有一个极点。(在传递函数的值变为无穷大的任何频率上都存在一个极点。)

我们还知道积分器的增益随着频率的增加而减小，并且在高频时输出电压几乎变为零。增益与频率成反比，因此在对数/对数坐标上绘制时，其斜率为-1(即，在波德图上-20dB/decade，图1b)。

可以很容易地推导出传递函数为:

V   /   = X (C) / R = (1 / sC) / R = 1 / (sCR) = -欧姆(0)/ s

其中s为复频变量西格马 + j欧姆， 欧姆(0)为1/RC。如果我们认为s是频率，这个公式证实了直观的感觉，即增益与频率成反比。稍后在讨论实际过滤器的实现时，我们将回到积分器。

简单的RC低通滤波器

一个稍微复杂一点的滤波器是简单的低通RC型(图2a)。其特征(传递函数)为:

V   /   = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 /(1 +可控硅)=欧姆(0)/ (s +欧姆(0))

当s = 0时，函数化简为欧姆(0)/欧姆(0)，即Unity。当s趋于无穷时，函数趋于零，所以这是一个低通滤波器。当s = -欧姆(0)时，分母为零，函数值为无穷大，表示复频率平面上有一个极点。传递函数的大小在图2b中与s对应，其中s的实部西格马是向右的，而正虚部j欧姆是向右的。欧姆(0)处的极是明显的。振幅以对数表示，以强调函数的形式。对于积分器和RC低通滤波器，频率响应在无限频率趋于零。简单地说，有一个0S =∞。这个零环绕着复平面。

但是s中的复函数与电路对实际频率的响应有什么关系呢?在分析电路对交流信号的响应时，我们用j欧姆L表示电感的阻抗，用1/j欧姆C表示电容器的阻抗。在使用拉普拉斯变换分析瞬态响应时，我们使用sL和1/sC作为这些元件的阻抗。相似之处是显而易见的。在AC分析中，实际上是s的虚部，如前所述，它由实部s和虚部j组成。

如果我们在上面的任何方程中用j欧姆代替s，我们就得到了电路对角频率欧姆的响应。在图2b的复图中，西格马 = 0，因此s = j欧姆沿正j欧姆轴。因此，函数沿着这个轴的值就是滤波器的频率响应。我们沿着j欧姆轴对函数进行了切片，并通过在正j欧姆轴上为函数值添加一条粗线来强调RC低通滤波器的频率响应曲线。更熟悉的波德图(图2c)在形式上看起来不同，只是因为频率是以对数表示的。

复频率的虚部j欧姆有助于描述对交流信号的响应，实部西格马则有助于描述电路的瞬态响应。查看图2b，因此我们可以对RC低通滤波器的响应与积分器的响应进行比较。低通滤波器的瞬态响应更稳定，因为它的极点在复平面的负实半部分。重申一下，低通滤波器对阶跃函数输入作出指数衰减响应;积分器的响应是无限的。对于低通滤波器，极位置越往下-西格马轴意味着欧姆(0)越高，时间常数越短，因此瞬态响应越快。相反地，靠近job轴的极点会产生较长的瞬态响应。

到目前为止，我们已经把一些简单电路的数学传递函数与复频率平面上的极点和零点联系起来。从这些函数中，我们推导出了电路的频率响应(以及它的波德图)和瞬态响应。因为积分器和RC滤波器在它们的传递函数的分母上都只有一个s，它们都只有一个极点。也就是说，它们是一阶滤波器。

然而，从图1b中我们可以看到，一阶滤波器不能提供非常有选择性的频率响应。为了使过滤器更接近应用程序的需要，我们必须转向更高的顺序。从现在开始，我们将使用f(s)来描述传递函数，而不是繁琐的V(OUT)/V(IN)。

二阶低通滤波器

二阶滤波器的分母为s(2)，复平面上有两个极点。你可以通过在无源电路中使用电感和电容，或者通过创建一个由电阻、电容和放大器组成的有源电路来获得这样的响应。以图3a中的无源LC滤波器为例。我们可以证明它的传递函数为:

ƒ(s) = X (C) / (R + X (L) + X (C)) = (1 / sC) / (R + sL + (1 / sC)] = 1 / (LC (s) (2) + RC (s) + 1)

如果我们定义:

欧姆(0)(2) = 1/LC, Q = 欧姆(0)L/R = 1/(rcc 欧姆(0))

然后:

ƒ(s) = 1 / ((s /欧姆(0))(2)+ s /(欧姆(0)问)+ 1)=欧姆(0)(2)/((2)+年代(欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2))

其中欧姆(0)为滤波器的特征频率，Q为品质因子(R越低，Q越高)。

极点出现在s处，此时分母为零;即当s(2) + s欧姆(0)/Q + 欧姆(0)(2) = 0时。我们可以通过记住ax(2) + bx + c = 0的根来解这个方程

在这种情况下,a = 1, b =欧姆(0)/ Q和c =欧姆(0)(2)。项(b(2) - 4ac)等于欧姆(0)(2)(1/Q(2) - 4)所以如果Q小于0.5那么两个根都是实数并且位于负实数轴上。该电路的工作原理类似于两个一阶RC级联滤波器。这种情况不是很有趣，所以我们只考虑Q >0.5，这意味着(b(2) - 4ac)是负的根是复根。

实部是-b/2a，也就是-欧姆(0)/2Q，对两个根都共有。根的虚部在符号上是相等和相反的。计算根在复平面上的位置，我们发现它们与原点的距离为欧姆(0)，如图3b所示。(相关的数学，虽然简单但乏味，将留给那些更有自虐倾向的读者作为练习。)

欧姆(0)的变化改变了极点到原点的距离。减小Q使两极相互靠近;增加Q使两极在一个半圆中彼此远离，并向j轴移动。当Q = 0.5时，两极在负实轴上的-欧姆(0)处相交。在这种情况下，相应的电路相当于两个级联的一阶滤波器，如前所述。

现在我们应该检查二阶函数的频率响应，看看它是如何随q变化的。和前面一样，图4a将函数显示为一个曲面，在复平面和垂直大小矢量组成的三维空间中描绘出来。此外，Q = 0.707，您可以立即看到响应是低通滤波器。

增加Q使极点沿圆周路径向j轴移动。图4b显示了Q = 2的情况。因为极点更接近j欧姆轴，它们对频率响应有更大的影响，在通带的高端产生峰值。

对滤波器的瞬态响应也有影响。由于极点的负实部较小，输入阶跃函数将在滤波器输出处引起振铃。较低的Q值导致较少的振铃，因为阻尼更大。如果Q变为无穷大，则极点到达j欧姆轴，在s = 欧姆(0)处引起无限频率响应(不稳定和连续振荡)。在图3a的LCR电路中，除非R = 0，否则不可能出现这种情况。然而，对于包含放大器的滤波器，这种情况确实是可能的，并且必须在设计过程中加以考虑。

二阶滤波器提供了变量欧姆(0)和Q，这允许我们在复平面上任意放置极点。然而，这些极点必须以复共轭对的形式出现，其中实部相等，虚部有相反的符号。这种极位的灵活性是一个强大的工具，使二阶级在许多开关电容滤波器中成为有用的组件。在一阶情况下，二阶低通传递函数随着频率增加到无穷大而趋于零。然而，二阶函数的衰减速度是它的两倍，因为分母上有s(2)因子。结果在无穷远处是一个双零。

在讨论了一阶和二阶低通滤波器之后，我们现在需要在两个方向上扩展我们的概念:我们将讨论其他滤波器配置，例如高通和带通部分，然后我们将讨论高阶滤波器。

高通和带通滤波器

为了将低通滤波器转换为高通滤波器，我们将s平面向外翻转，使低频高，高频低。无限频率处的双零趋近于零;在零频率处的有限响应变为无限。为了完成这个变换，我们令s = 欧姆(0)(2)/s，所以是s
∞时欧姆(0)(2)/ s
0，反之亦然。在欧姆(0)处，s的旧值和新值是相同的。那是两个零S = 1移动到零;我们在s = 0处的有限响应移动到无穷大，产生一个高通滤波器:

ƒ(s) =欧姆(0)(2)/((欧姆(0)(4)/ s(2) +(欧姆(0)(3)/ Qs) +欧姆(0)(2))

如果分子分母同时乘以s(2)/欧姆(0)(2)

φ (s) = s(2)/[s(2) + (s欧姆(0)/Q) + 欧姆(0)(2)]

这个形式和之前一样，除了分子是s(2)而不是欧姆(0)(2)换句话说，我们可以通过改变分子而不改变分母来将低通函数转换为高通函数。

波德图提供了另一种低通到高通转换的视角。图5a显示了二阶低通函数的波德图:在截止频率处平坦，然后在-40dB/decade处下降。乘以s(2)，该函数的十进斜率为+40dB。额外的斜率提供了低于截止频率的低频滚降;在截止点以上，它通过抵消原始响应而给出平坦响应(图5b)-40 db /十年斜率。

我们可以用同样的方法来生成带通滤波器。将低通响应乘以s，增加+20dB/十进斜率。净响应低于截止值+20dB/ 10年，高于截止值-20dB/ 10年。这产生了图5c中的带通响应:

φ (s) = 欧姆(0)s/[s(2) + (s欧姆(0))/Q) + 欧姆(0)(2)]

注意，二阶带通滤波器的截止率是其他类型滤波器的一半。这是因为可用的40dB/十进斜率必须在滤波器的两个边缘之间共享。

综上所述，归一化形式的二阶低通、带通和高通函数具有相同的名称，但它们的分子分别为欧姆(0)(2)、欧姆(0)s和s(2)。

陷波和全通滤波器

陷波或带阻滤波器在通过所有其他频带的同时拒绝某一频带的频率。同样，你可以通过改变标准二阶特性的分子来推导这个滤波器的传递函数:

ƒ(s) = (s(2) +欧姆(Z) (2)) / s (2) + (s欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2)

考虑极限情况。当s = 0时，f(s)约为欧姆(z)(2)/欧姆(0)(2)，是有限的。当年代
∞时，方程化为1。在s = j欧姆(z)时，分子变为零，f(s)变为零(实际上是双零，因为分子中有s(2))我们得到陷波滤波器的特性。除非欧姆(z) = 欧姆(0)，否则陷波以上和以下频率的增益是不同的。陷波滤波器方程也可以表示为:

ƒ(s) = s(2) +(欧姆(Z) (2)) / s (2) + (s欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2)=
[s (2) / s (2) + (s欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2)]+[欧姆(Z) (2) / s (2) + (s欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2))

这可以简单地说。陷波滤波器是基于低通和高通特性的总和。我们在实际的滤波器实现中使用这一事实，从现有的高通和低通响应中产生陷波响应。我们通过添加两个响应来创建一个零，这似乎很奇怪，但它们的相位关系使之成为可能。

最后，有一个全通过滤器，它的形式是:

ƒ(s) = [s (2) - (s欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2)]/ [s (2) + (s欧姆(0)/ Q) +欧姆(0)(2))

该响应的极点和零点对称地放置在j欧姆轴的两侧，如图6所示。这些极点和零点的影响完全抵消，从而得到均匀的频率响应。一根电线似乎可以提供更便宜的效果。然而，与电线不同的是，全通滤波器提供了相位响应随频率的有用变化。

高阶滤波器

幸运的是，我们不必单独处理高阶滤波器，因为任何长度的s中的多项式都可以分解为一系列二次项(如果多项式是奇数，则加上单个一阶项)。例如，一个五阶低通滤波器可能具有传递函数:

ƒ(s) = 1 /((5) +(4)年代(4)+(3)(3)+(2)年代(2)+ (1)s + (0))

所有的a(0)都是常数。我们可以将分母因式分解为

ƒ(s) = 1 / ((s (2) + s欧姆(1)/ Q(1) +欧姆(1)(2))((2)+年代欧姆(2)/ Q(2) +欧姆(2)(2))(s +欧姆(3)))

这与:

[1 /ƒ(s) = (s (2) + s欧姆(1)/ Q(1) +欧姆(1)(2)))×[1 / (s (2) + s欧姆(2)/ Q(2) +欧姆(2)(2)))×[1 / (s +欧姆(3)))

最后一个方程表示一个过滤器，我们可以在物理上实现为两个二阶部分和一个一阶部分，都是级联的。

这种结构简化了设计，使其更容易在复频率平面上以极点和零点的形式可视化响应。我们知道每一个二阶项贡献了一个共轭复极对，而一阶项贡献了负实轴上的一个极点。如果传递函数的分子中有一个高阶多项式，那么这个多项式也可以被因式分解，这意味着二阶部分将不是低通部分。

使用上述的合成原理，我们可以简单地通过在复频率平面的不同位置放置极点和零点来构建各种各样的滤波器。然而，大多数应用程序只需要有限数量的这些可能性。对他们来说，许多早期的实验者，如巴特沃斯和切比切夫，已经研究出了细节。

巴特沃斯过滤器

有一种滤波器在许多应用中都很常见，它要求在通带内的响应是平坦的，但在通带之后的响应会尽可能地急剧切断。你可以通过在半圆形轨迹周围以等间距排列低通滤波器的极点来获得该响应。结果将是一个巴特沃斯过滤器。例如，图7a的极-零图表示四阶巴特沃斯滤波器。

图7a中的极点具有不同的Q值，但它们都具有相同的欧姆(0)，因为它们与原点的距离相同。与此滤波器对应的三维表面(图7b)说明，当最低q极的效果开始减弱时，下一个极接管，然后下一个，直到用完极点，响应在-80dB/decade时下降。

您可以构建巴特沃斯版本的高通、带通和其他类型的滤波器，但这些滤波器的极点不会排列在一个简单的半圆中。在大多数情况下，您首先设计一个低通过滤器，然后应用转换来生成其他类型(例如s
1/s，我们之前用它来改变低通到高通滤波器)。

Chebychev过滤器

通过使极点更靠近工作轴(增加它们的q)，我们可以使滤波器的频率截止比巴特沃斯滤波器的频率截止更陡峭。这种安排有一个缺点:每个极点的影响将在滤波器响应中可见，在通带中产生幅度变化，称为纹波。然而，通过适当的极点排列，可以使变化相等，从而产生切比切夫滤波器。

通过将每个极点以相同的比例移动到更靠近j欧姆轴的位置，可以从Butterworth得到Chebychev滤波器，这样极点就位于一个椭圆上(图8a)。图8b演示了每个极点如何为通带纹波贡献一个峰值。移动极点更接近j欧姆轴增加通带纹波，但在阻带提供了一个更突然的截止。因此，切比切夫滤波器在纹波和截止之间提供了一种权衡。在这方面，巴特沃斯滤波器，其中通带纹波已设置为零是一个特殊情况的切比切夫。

贝塞尔滤波器

巴特沃斯滤波器和切比切夫滤波器具有尖锐的截止点，从其极点在s平面上的位置可以明显看出这一点。使极点更接近工作轴增加他们的Q，这降低了滤波器的瞬态响应。在响应边缘可能导致过冲或甚至振铃。

贝塞尔滤波器代表了与巴特沃斯相反方向的权衡。贝塞尔极点位于远离j欧姆轴的轨迹上(图9)。瞬态响应得到了改善，但代价是阻带的截止度较低。

椭圆滤波器

通过增加最靠近通带边缘的极点的Q，您可以获得比切比切夫具有更锐利的阻带截止的滤波器，而不会产生更多的通带纹波。单独这样做会产生增益峰值，但您可以通过在阻带底部提供零来补偿峰值。额外的零必须沿阻带间隔，以确保滤波器响应保持在期望的阻带衰减水平以下。图10a显示了这种类型的极点-零点图:椭圆滤波器。图10b显示了相应的传递函数面。可以想象，椭圆滤波器的高q极产生的瞬态响应甚至比切比契夫滤波器更差。

请注意，所描述的所有过滤器都具有与极点相同数量的零。(必须是这样，否则传递函数就不是无量纲表达式了。)例如，椭圆滤波器的零点沿阻带的j欧姆轴间隔。在贝塞尔，巴特沃斯和切比切夫的例子中，在无穷远处，所有的零都在彼此的上面。由于分子中没有显式的零，这些滤波器类型有时被称为全极滤波器。

我们现在已经扩展了我们的概念，不仅涵盖了一阶和二阶滤波器，还涵盖了更高阶的滤波器，包括一些特别有用的情况。现在是时候从抽象理论转向讨论实际电路了。

状态变量过滤器

如前所述，我们可以从一阶和二阶构建块构造任何过滤器。你可以把一阶滤波器看作二阶滤波器的特例。因此，我们的基本构建块应该是一个二阶部分，从中我们可以得出低通、高通、带通、陷波或全通特性。

状态变量滤波器对于二阶段是一种方便的实现。它使用两个级联积分器和一个求和结，如图11所示。

我们知道积分器的特性就是欧姆(0)/s。但为了在简化数学的同时演示原理，我们可以假设两个积分器的欧姆(0) = 1，并且它们的特性简单地为1/s。然后我们可以写出图11中每个积分器的方程:

L = B/s或B = sL

B = H/s或H = sB = s(2)L

图11中求和结点的方程很简单:

H = I - b - l

如果我们用积分方程代入H和B，我们得到

s(2)L = I - sL - L

或者:

s(2)L + sL + L = I

在这种情况下:

L(s(2) + s + 1) = 1

或者:

L/I = 1/(s(2) + s + 1)

方程22是经典的归一化低通响应。由于B = sL, H = s(2)L，则:

我= B / s / s (2) + s + 1)和H / I = s (2) / (s (2) + s + 1)

公式23分别给出了经典带通和高通响应。

因此，一个滤波器提供同时的低通、带通和高通输出。通过建立欧姆(0)≠1的积分器和值≠1的求和结的反馈因子，我们可以从这些方程中创建具有欧姆(0)和Q实值的实际滤波器。

理论上，可以通过合并两个以上的积分器来创建高阶过滤器。一些集成电路滤波器使用这种方法，但它有缺点。要对这些过滤器进行编程，必须计算高阶多项式的系数值。此外，一长串积分器也会带来稳定性问题。通过将自己限制在二阶部分，我们可以直接处理与每个极点相关的欧姆(0)和Q变量。

开关电容滤波器

所有有源滤波器的特性，无论结构如何，都取决于其RC时间常数的准确性。由于集成电阻器和电容器的典型精度约为±30%，因此当设计人员试图在集成滤波电路中使用元件的绝对值时，会遇到困难。然而，芯片上电容值的比例可以精确地控制在2000年的1 / 2左右。开关电容滤波器使用这些电容比率来实现精度，而不需要精确的外部组件。

在图12所示的开关电容积分器中，C(1)和开关的组合模拟了一个电阻。

开关S(1)以时钟频率f(CLK)连续切换。当S(1)向左时，电容器C(1)向V(IN)充电。当C(1)向右切换时，C(1)将电荷倾倒到积分器的求和节点，并从该节点流入电容器C(2)。C(1)在每个时钟周期内的电荷为:

Q = c (1) v (in)

因此，传递到求和结的平均电流为:

I = Qf(C) = C(1)V(IN) × f(CLK)

注意，电流与V(IN)成正比，所以我们得到了与电阻器值相同的效果:

R = V(IN)/I = 1/(C(1)f(CLK))

因此，积分器的欧姆(0)为:

欧姆(0) = 1/RC(2) = C(1)f(CLK)/C(2)

因为欧姆(0)与两个电容的比值成正比，所以它的值可以非常精确地控制。此外，该值与时钟频率成正比，因此如果需要，可以通过改变f(CLK)来改变滤波器特性。但开关电容是一个采样数据系统，因此，不完全等同于时间连续RC积分器。事实上，这些差异给设计师带来了三个问题。

首先，通过开关电容的信号由时钟频率调制。如果输入信号包含接近时钟频率的频率，它们可以互调并在系统带宽内引起杂散输出频率。对于许多应用来说，这不是问题，因为输入带宽已经被限制在时钟频率的一半以下。如果没有，则必须在开关电容滤波器之前加一个抗混叠滤波器，以去除输入频率高于时钟频率一半的任何分量。

其次，积分器输出(图12)不是线性斜坡，而是时钟频率上的一系列步进。在由开关注入的电荷引起的阶跃转换处可能有小的尖峰。如果滤波器后的系统带宽远低于时钟频率，这些像差可能不是问题。否则，必须在开关电容滤波器的输出端再次添加另一个滤波器以消除时钟纹波。

第三，开关电容滤波器的行为不同于理想的时间连续模型，因为输入信号每个时钟周期只采样一次。当滤波器的极点频率接近时钟频率时，特别是对于q值较低时，滤波器输出会偏离理想值。然而，您可以在设计过程中计算这些影响并考虑到它们。

综上所述，最好保持时钟与中心频率的比值尽可能大。开关电容滤波器的典型比率范围约为28:1至200:1。例如，MAX262允许最大时钟频率为4MHz，因此使用28:1的最小比率可以获得140kHz的最大中心频率。在低端，开关电容滤波器的优点是它们可以处理低频而不使用令人不安的大R和c值，您只需降低时钟频率。

结论

本文介绍了开关电容有源滤波器的相关概念和术语。如果你掌握了这里展示的材料，你应该能够理解大多数过滤器数据表。