在一个理想的系统中，振幅为a，频率为o的单音正弦波，

X(t) = Asin(2π ft)

使用周期为T的ADC进行采样得到离散信号:

X [n] = Asin(2π字体)、

式中X[n]为每t秒对X(t)均匀采样得到的离散时间信号。倒数1/T = F称为采样率或采样频率。

一类特别重要的系统是由线性和时不变的系统组成的，或者“LTI”。这两个属性结合在一起，为这样的系统提供了特别方便的表示。最重要的是，LTI系统的输入X[n]和输出Y[n]之间的关系可以用卷积和给出。卷积是分析和描述LTI系统的基础。在这个例子中，我们将只分析系统的线性。

线性系统是满足叠加原理的系统。简单地说，叠加原理要求系统对一组信号的加权和的响应等于系统对每个单独输入信号的响应(输出)的相应加权和。叠加性极大地简化了线性系统的分析。由于分解特性，您可以分别计算输出的不同组成部分。

比较理想的ADC传输曲线和具有INL误差的传输曲线，很容易演示具有INL误差的系统如何产生非线性输出。当其输入为X3[n] = X1[n] + X2[n]时，输出Y3[n]不等于输出Y1[n] +Y2[n]的和。更准确地说，F(X1 + X2)≠F(X1) + F(X2)。因此，非线性误差会产生额外的、不需要的、内部生成的正弦波，这会增加设计成本和滤波器的复杂性。(电气工程师将这种内部产生的正弦波效应称为互调失真。)

在上图中，理想传递函数被画成一条直线。在本例中，将包含INL误差的非理想传递曲线绘制为二阶函数Y[n] = k[X[n]]^2。在现实中，非理想传递函数也可能包含二阶、三阶、四阶等，分量Y[n] = kX1[n] + k2X[n]^2 + k3X[n]^3 + k4X[n]^4 +…

对于下面的分析，只考虑二阶分量。

X1[n] = sin(2π × fo × nT) fo = 1Hz(为清晰起见，分离出fo)，振幅A=1，无相位

Y1[n] = kX1[n]X1[n]为简单起见，在本例中设置常数k = 1

Y1[n] = sin(2π × 1 × nT)sin(2π × 1 × nT)

注意:回想一下三角恒等式，Sin(A)Sin(B) = Cos(A-B)/2 - Cos(A+B)/2

Y1 [n] = cos(2π1××nT - 2π×1×nT) / 2 - cos(2π1××元+ 2π×1×nT) / 2

Y1[n] = cos(0)/2 - cos(4π × 1 × nT)/2

Y1[n] = 1/2 - cos(2π × 2 × nT)/2 (fo = 2Hz，峰值振幅为-0.5的余弦波)

X2[n] = sin(2π × fo × nT)， fo = 3Hz，振幅A=1

Y2[n] = sin(2π × 3 × nT)sin(2π × 3 × nT)

Y2 [n] = cos(2π×3×nT - 2π×3×nT) / 2 - cos(2π×3×元+ 2π×3×nT) / 2

Y2[n] = cos(0)/2 - cos(4π × 3 × nT)/2

Y2[n] = 1/2 - cos(2π × 6 × nT)/2 (fo = 6Hz，峰值振幅为-0.5的余弦波)

我们现在可以用X3[n] = X1[n] + X2[n]， Y3[n] = [X[3]]^2

Y3[n] = [X1[n] + X2[n]]^2

Y3[n] = X1[n]X1[n] + 2 X1[n]X2[n] + X2[n]X2[n]

如前所述:

X1[n]X1[n]的结果是1/2的恒定值和2Hz的余弦波，振幅-0.5

X2[n]X2[n]得到恒定值1/2和6Hz的余弦波，振幅-0.5

对于2X1[n]X2[n] = 2sin(2π × 1 × nT)sin(2π × 3 × nT) = cos(2π × 1 × nT -2π × 3 × nT) - cos(2π × 1 × nT + 2π × 3 × nT) = cos(-4π × 2 × nT) - cos(8π × nT) = cos(-2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT) = cos(2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT) = cos(2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT) = cos(2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT) = cos(2π × 2 × nT) - cos(2π × 4 × nT)

因此,

X1 Y3 [n] = [n] ^ 2 + X2 [n] ^ 2 = Y1 [n] + Y2 [n] = 1 - cos(2π×2×nT) / 2 - cos(2π×6×nT) / 2

然而,

Y3 [n] = (X1 [n] + X2 [n]) ^ 2 = 1 - cos(2π×2×nT) / 2 - cos(2π×6×nT) / 2 + cos(2π×2×nT) - cos(2π×4×nT)

由于积分非线性误差，我们增加了两个额外的2Hz和4Hz余弦波。由于不满足叠加原理，因此系统是非线性的，不是线性时不变系统。如上所述，需要应用滤波来抑制额外的不需要的频率(或旁瓣)，这增加了设计的复杂性和成本。

清单1:Matlab代码

%频率分辨率演示%最大积分%幅度与频率图-非线性误差= 0:1023;w0 = 0.02*pi;% w0 = 2*pi*1*0.01，频率= 1Hz，采样周期= 0.01 sw1 = 0.06*pi;% w1 = 2*pi*3*0.01，频率= 3Hz，采样周期= 0.01 sn = 2048;w = (-N/2:(N-1)/2)*2*pi/N;x1=cos(w0* N);% X1[n] =cos(2*pi*1*n*0.01)频率= 1Hz，采样周期= 0.01 x2=cos(w1*n);% X2[n] = cos(2*pi*3*n*0.01)频率= 3Hz，采样周期= .01sx3=x1+ X2;y1=x1.*x1;% Y1[n] = [X1[n]]^2y2=x2.*x2;% Y2 [n] = [X2 [n]] ^ 2 y3 = y1 + Y2; y4 = x3。* x3; L = 1024; Z0 = [y1 (1: L) 0 (2048 - L)]; Z1 = (Y2 (1: L) 0 (2048 - L)]; Z2 = (y3 (1: L) 0 (2048 - L)]; Z3 = [y4 (1: L) 0 (2048 - L)]; %执行FFT signalsZ5 = FFT (Z0 n); fftshift (Z5); Z6 = FFT (Z1, n); fftshift (Z6); Z7 = FFT (Z2, n); fftshift (Z7); Z8等车型后=亨里克·菲克斯FFT (Z3 n); fftshift (Z8等车型后)亨里克·菲克斯;%情节signalssubplot(2,2,1);情节(w /(02 *π)、abs (fftshift (Z5) / 512)),包含(“),ylabel(级),标题(X1 [n] ^ 2),次要情节(2 2 2);情节(w /(02 *π)、abs (fftshift (Z6) / 512)),包含(“),ylabel(“级”)、标题(“X2 [n] ^ 2”),次要情节(2,2,3);情节(w /(02 *π)、abs (fftshift (Z7) / 512)),包含(频率图),ylabel(“级”);标题(' Y3 [n] = X1 [n] ^ 2 + X2 [n] ^ 2》),次要情节(2,2,4);情节(w /(02 *π)、abs (fftshift (Z8等车型后)亨里克·菲克斯/ 512)),包含(频率图),ylabel(“级”);标题(' Y3 [n] = (X1 [n] + X2 [n]) ^ 2》);

参考文献

1. 离散时间信号处理，艾伦·奥本海姆和罗纳德·谢弗

2. 理解数字信号处理，理查德·莱昂斯

3. 数字信号处理，John Proakis和Dimitris Manolakis

4. 信号处理&线性系统，B.P. Lathi

附加信息:ADC的abc:理解ADC错误如何影响系统性能